Question

在区间[-1，1]上任取两个数
（1）求这两个数的平方和不大于1的概率    （2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率

Answer 1

分析：（1）这是一个几何概型中的面积类型，则分别求得试验的全部结果的构成的区域Ω={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}的面积和两个数的平方和不大于1所构成的区域A={（x，y）|x²+y²≤1，-1≤x≤1，-1≤y≤1}的面积，然后再求比值即为所求的概率．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间[-1，1]上任取两个数a和b，写出事件对应的集合，做出面积，满足条件的事件是|a-b|≤1，写出对应的集合，做出面积，得到概率．

解答：解：（1）设两个数的平方和不大于1的概率为P
从[-1，1]内任意取两个实数为：x，y
试验的全部结果的构成的区域为Ω={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}
其面积为：S_Ω=4，
两个数的平方和小于1所构成的区域为：A={（x，y）|x²+y²≤1，-1≤x≤1，-1≤y≤1}，其面积为：S_A=π
∴P（A）=

SΩ

SA

=

π

4

故答案为

π

4

．
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是在区间[-1，1]上任取两个数a和b，
事件对应的集合是Ω={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}
对应的面积是s_Ω=4
满足条件的事件是a+b≤1，事件对应的集合是A={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1，|a-b|≤1}
对应的图形的面积是s_A=3
∴根据等可能事件的概率得到P=

3

4

．

点评：本题主要考查几何概型中的面积类型及其应用，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．