Question

（2008•江苏二模）设点F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右两焦点，直线l为右准线．若在椭圆上存在点M，使MF₁，MF₂，点M到直线l的距离d成等比数列，则此椭圆离心率e的取值范围是

[

2

-1，1)

．

Answer 1

分析：欲求椭圆离心率e的取值范围，关键是建立a，c之间的不等关系，设M（x，y）利用MF₁，MF₂，d成等比数列，得出

x

a

=

e-1

e(e+1)

，由于M在椭圆上，故-a≤x≤a，即有-1≤x/a≤1，从而得到不等关系-1≤

e-1

e(e+1)

≤1；解之即可得到e的取值范围．

解答：解：设M（x，y）；l为右准线；
故MF₂=r₂=a-ex； MF₁=r₁=2a-r₂=2a-（a-ex）=a+ex；
MF₁，MF₂，d成等比数列，故有：r²₂=dr₁，
即有（a-ex）²=（a+ex）（a-ex）/e，
化简得e（a-ex）=a+ex，故

x

a

=

e-1

e(e+1)

，
由于M在椭圆上，故-a≤x≤a，即有-1≤x/a≤1，
∴-1≤

e-1

e(e+1)

≤1；由于e-1＜0，
故只需考虑不等式的左边，即考虑-1≤

e-1

e(e+1)

，-e（e+1）≤e-1，
∴e²+2e-1≧0，故得e≥

2

-1，
即e的取值范围为[

2

-1，1)．
故答案为：[

2

-1，1)．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、等比数列的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．