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    在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x2．实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．
    （1）过点，A（p，p2）（p≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=；
    （2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|?φ（a，b）=．
    （3）设D={ （x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）2-}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φmin）和最大值（记为φmax）
    【答案】分析：（1）求导，写出过点A（p，p2）（p≠0）L的切线方程，求得点B的坐标，即可证得结果；
    （2）求出过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，根据φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}，比较、|a-|、、|a-|的大小，即可证得结论；
    （3）联立y=x-1，y=（x+1）2-求得交点坐标，利用导数求过点（p，q）抛物线L的切线方程，求得切点坐标，转化为求函数的最值问题．
    解答：解：（1）kAB=y′|x=p0=p，
    直线AB的方程为y-p2=p（x-p），即y=px-p2，
    ∴q=pp-p2，方程x2-px+q=0的判别式△=p2-4q=（p-p）2，
    两根x1，2==或p-，
    而|p-|=||p|-|||，又0≤|p|≤|p|，
    ∴，得|p-|=||p|-|||，
    ∴φ（p，q）=；

    （2）由a2-4b＞0知点M（a，b）在抛物线L的下方，
    ①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M（a，b）∈X，则p1＞p2≥0，
    得|p1|＞|p2|；显然有点M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|．
    ②当a＞0，b＜0时，点M（a，b）在第二象限，作图可知，若M（a，b）∈X，则p1＞0＞p2，
    且|p1|＞|p2|；
    显然有点M（a，b）∈X，
    ∴显然有点M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|．
    根据曲线的对称性可知，当a＜0时，M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|．
    综上所述，M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|．   （*）
    由（1）知点M在直线EF上，方程x2-ax+b=0的两根x1，2=或a-，
    同理知点M在直线E′F′上，方程x2-ax+b=0的两根x1，2=或a-，
    若φ（a，b）=，则不比|a-|、、|a-|小，
    ∴|p1|＞|p2|；又|p1|＞|p2|⇒M（a，b）∈X；
    ∴φ（p，q）=⇒M（a，b）∈X；
    又由（1）知，M（a，b）∈X⇒φ（p，q）=；
    ∴M（a，b）∈X?φ（p，q）=，综合（*）式，得证．

    （3）联立y=x-1，y=（x+1）2-得交点（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，
    过点（p，q）抛物线L的切线，设切点为（x，x2），则，
    得x2-2px+4q=0，解得x=p+，
    又q≥（p+1）2-，即p2-4q≤4-2p，
    x≤p+，设=t，x≤=≤，
    ∴φmax=；
    而x≥p+=p+|p-2|=2，
    ∴φmin==1．
    点评：此题是个难题．本题考查了利用导数研究抛物线的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题形式是个新定义问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知在平面直角坐标系xOy上的区域M由不等式组
    x-y≥0
    x+y≤2
    y≥0
    给定．若点P（a+b，a-b）在区域M内，则4a+2b-1的最大值为（　　）

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    （2012•德州一模）已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
    x+y-5≤0
    y≥x
    x≥1
    确定，若M（x，y）为区域D上的动点，点A的坐标为（2，3），则z=
    OA
    •
    OM
    的最大值为（　　）

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    在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
    0≤x≤
    		2
    y≤2
    x≤
    		2
    y
    给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为(
    		2
    ，
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    )    ，则z=
    OM
    •
    OA
    的最大值为
    2
    		2
    +1
    2
    2
    		2
    +1
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•浦东新区一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC，此正方形PABC沿x轴滚动（向左或向右均可），滚动开始时，点P位于原点处，设顶点P（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f（x），x∈R，该函数相邻两个零点之间的距离为m．
    （1）写出m的值并求出当0≤x≤m时，点P运动路径的长度l；
    （2）写出函数f（x），x∈[4k-2，4k+2]，k∈Z的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：
    函数性质 结  论
    奇偶性
    偶函数
    偶函数
    单调性 递增区间
    [4k，4k+2]，k∈z
    [4k，4k+2]，k∈z
    递减区间
    [4k-2，4k]，k∈z
    [4k-2，4k]，k∈z
    零点
    x=4k，k∈z
    x=4k，k∈z
    （3）试讨论方程f（x）=a|x|在区间[-8，8]上根的个数及相应实数a的取值范围．

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