Question

六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．已知在平行四边形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²），则在平行六面体
ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC₁²+BD₁²+CA₁²+DB₁²等于（　　）

A、2（AB²+AD²+AA₁²）

B、3（AB²+AD²+AA₁²）

C、4（AB²+AD²+AA₁²）

D、4（AB²+AD²）

Answer 1

分析：根据平行六面体的性质，可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形，多次使用已知条件中的定理，再将所得等式相加，可以计算出正确结论．

解答：解：如图，平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，

因此，在平行四边形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²）…①；
在平行四边形ACA₁C₁中，A₁C²+AC₁²=2（AC²+AA₁²）…②；
在平行四边形BDB₁D₁中，B₁D²+BD₁²=2（BD²+BB₁²）…③；
②、③相加，得A₁C²+AC₁²+B₁D²+BD₁²=2（AC²+AA₁²）+2（BD²+BB₁²）…④
将①代入④，再结合AA₁=BB₁得，AC₁²+B₁D²+A₁C²+BD₁²=4（AB²+AD²+AA₁²）
故选C．

点评：此题主要考查学生对平行六面体的认识，对平行四边形的性质的理解和掌握，考查学生方程组的处理能力，属于中档题．