Question

【题目】已知函数 是偶函数.
（1）求 的值；
（2）若函数 没有零点，求 得取值范围；
（3）若函数 ， 的最小值为0，求实数 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 是偶函数，∴ ，
即 对任意 恒成立.
∴ ，
∴
（2）解：函数 没有零点，即方程 无实数根.
令 ，则函数 的图象与直线 无交点，
∵
，
又 ，∴ ，
∴ 的取值范围是 .
（3）解：由题意 ， ，
令 ， ， ，
①当 ，即 时，
， ；
②当 ，即 时，
， （舍去）；
③当 ，即 时，
， （舍去）.
综上可知，实数
【解析】(1)根据偶函数的定义f(-x) =f(x)再结合对数的运算性质 即可求出结果。(2)首先把零点问题转化为方程根的问题，再构造函数g ( x )利用数学结合的思想转化为函数 y = g ( x ) 的图象与直线 y = a 无交点，再根据题意利用对数的运算性质以及对数函数的单调性求出函数 g(x) 的取值范围，进而求出使得函数 y = g ( x ) 的图象与直线 y = a 无交点的a的取值范围。(3)由整体思想 t = 2x ∈ [ 1 , 3 ]转化整理函数 h(x)为φ ( t ) = t2 + m t，利用二次函数在指定区间上的最值问题对对称轴分情况讨论，进而求出在不同区间上的m的值。