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    求证：双曲线C1：x2－y2＝5与椭圆C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交点处的切线互相垂直．

    答案：
    解析：

    证明：联立得两曲线在第一象限交点为(3，2)

    C1：y＝

    ∴y′＝［(x2－5)］′＝·

    ∴k1＝y′|x＝3＝

    C2：y＝∴y′＝·

    ∴k2＝y′|x＝3＝－

    ∵k1·k2＝－1

    ∴两切线互相垂直


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1．
    （1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；
    （2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
    （3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•上海）如图，已知双曲线C1：
    x2
    2
    -y2=1    ，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1-C2型点”
    （1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
    （2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1-C2型点”；
    （3）求证：圆x2+y2=
    1
    2
    内的点都不是“C1-C2型点”

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，双曲线C1：
    x2
    4
    -
    y2
    b2
    =1    与椭圆C2：
    x2
    4
    +
    y2
    b2
    =1    （0＜b＜2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点．
    （I）求证：
    kAA1+kAA2
    kPA1+kPA2
    为定值（其中kAA1表示直线AA1的斜率，kAA2等意义类似）；
    （II）证明：△OAA2与△OA2P不相似．
    （III）设满足{（x，y）|
    x2
    4
    -
    y2
    m2
    =1    ，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|
    x2
    4
    -
    y2
    3
    ＞1    ，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．

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    科目：高中数学 来源：2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷解析版） 题型：填空题

    如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点“

    （1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

    （2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；

    （3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”

     

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    科目：高中数学 来源：2014届山东省济宁市高二10月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.

    (1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

    (2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；

     

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