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    如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．

    (Ⅰ)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？

    (Ⅱ)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

    (半个椭圆的面积公式为S＝lh，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果均精确到0.1米)

    答案：
    解析：

    　　[解]　　(Ⅰ)如图建立直角坐标系，则点P(11，4.5)，椭圆方程为＋＝1．

    　　将b＝h＝6与点P坐标代入圆方程，得a＝，此时l＝2a＝≈33.3．　　因此隧道的拱宽约为33.3米．

    　　(Ⅱ)[解一]由椭圆方程＋＝1，得＋＝1．

    　　因为＋≥，即ab≥99，且l＝2a，h＝b，所以S＝lh＝≥．　　当S取最小值时，有＋＝，得a＝11，b＝

    　　此时l＝2a＝22≈31.1，h＝b≈6.4．

    　　故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．

    　　[解二]　　由椭圆方程＋＝1，得＋＝1．于是b2＝·，

    　　a2b2＝(a2－121＋＋242)≥(＋242)＝81×121，

    　　即ab≥99，当S取最小值时，有a2－121＝，

    　　得a＝11，b＝．以下同解一．


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