Question

若定义域为R的函数f(x)是奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，[f(x)]_max＝M，[f(x)]_min＝m，且M≠m，试探究函数f(x)在整个定义域R上的最值，并把你探究得到的结论用代数方法证明．

Answer 1

答案：
解析：

结论(1)若，则在函数f(x)在定义域上，；(2)若，则在函数f(x)在定义域上，．(4分) 　　证明　因为x≥0时，，即，由f(x)是奇函数得：，即时，． 　　所以在函数f(x)的定义域R上，值域为[－M，－m][m，M](※)．(2分) 　　(1)当时，则M＞0(假设M0，由得－M，进一步，与M＞m矛盾)． 　　①若m≥0，由及M＞0得：M＞m，进一步－M＜－mm＜M，所以在函数f(x)在定义域上，值域仍为[－M，－m][m，M]，从而； 　　②若m＜0，由及M＞0得：M≥－m，进一步．由(※)得：在函数f(x)的定义域上，值域改写为[－M，M]，所以；(4分) 　　(2)当时，则m＜0(假设m≥0，由得：，进一步，与M＞m矛盾)． 　　①若M≥0，由，m＜0得：M＜－m，进一步m＜－MM＜－m，由(※)得：在函数f(x)的定义域上，值域改写为[m，－m]，所以； 　　②若M＜0，由，m＜0得：M＞m，进一步m＜M＜－M＜－m，由(※)得：在函数f(x)的定义域上，值域改写为[m，M][－M，－m]， 　　所以．(4分)