Question

一个圆锥高h为3

3

，侧面展开图是个半圆，求：
（1）其母线l与底面半径r之比；
（2）锥角∠BAC；
（3）圆锥的表面积．

Answer 1

分析：（1）由已知中圆锥侧面展开图是个半圆，即底面周长等于以母线为半径的半圆弧的长，由此即可得到母线l与底面半径r之比；
（2）根据（1）的结论，结合直角三角形的性质，我们易解三角形BAO求出BAO的度数，进而得到锥角的大小；
（3）根据（1）的结论和已知中圆锥高h为3

3

，求出圆锥的底面半径和母线长，代入圆锥的表面积公式，即可得到答案．

解答：解：（1）⊙圆锥的侧面展开图恰为一个半圆
∴2πr=πl
∴其母线l与底面半径r之比为l：r=2：1
（2）∵l：r=2：1
∴AB=2OB
∴∠BAO=30°
∴∠BAC=60°
即锥角为60°
（3）Rt△AOB中，
∵l²=h²+r²
又l=2r，h=3

3

∴r=3，l=6
∴S_表面积=S_侧面积+S_底面积=3π（6+3）=27π

点评：本题考查的知识点是圆锥的表面积及圆锥的几何特征，本题的关键是要搞清楚圆锥的底面半径与母线之间的关系．