Question

（2013•金山区一模）设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．过B₁作直线l交椭圆于P、Q两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若PB₂⊥QB₂，求直线l的方程；
（3）设直线l与圆O：x²+y²=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4，2

7

]，求△B₂PQ的面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设所求椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，右焦点为F₂（c，0）．已知△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90°，可得c=2b，在Rt△AB₁B₂中，S△AB1B2=b2=4，从而a²=b²+c²=20．即可得到椭圆的方程．
（2）由（1）得B₁（-2，0），可设直线l的方程为x=my-2，代入椭圆的方程，得到根与系数的关系，利用PB₂⊥QB₂，?

B2P

•

B2Q

=0，即可得到m．
（3）当斜率不存在时，直线l：x=-2，此时|MN|=4，S=

16 5

5

，当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），利用点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离d=

|2k|

k2+1

，可得t=|MN|=2

R2-d2

≤2

7

，得k的取值范围；把直线l的方程代入椭圆的方程点到根与系数的关系，代入S=

1

2

×|B₁B₂|×|y₁-y₂|，再通过换元，利用二次函数的单调性即可得出S的取值范围．

解答：解：（1）设所求椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，右焦点为F₂（c，0）．
因△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90°，得c=2b，
在Rt△AB₁B₂中，S△AB1B2=b2=4，从而a²=b²+c²=20．
因此所求椭圆的标准方程为：

x2

20

+

y2

4

=1．
（2）由（1）得B₁（-2，0），可设直线l的方程为x=my-2，代入椭圆的方程

x2

20

+

y2

4

=1．化为（5+m²）y²-4my-16=0．
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则y1+y2=

4m

m2+5

，y1•y2=-

16

m2+5

，
又

B2P

=(x1-2，y1)，

B2Q

=(x2-2，y2)，B₂P⊥B₂Q，
所以

B2P

•

B2Q

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（m²+1）y₁y₂-4m（y₁+y₂）+16=

-16(m2+1)

m2+5

-

16m2

m2+5

+16=

-16m2+64

m2+5

=0，
∴m²=4，解得m=±2；
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+2y+2=0和x-2y+2=0．
（3）当斜率不存在时，直线l：x=-2，此时|MN|=4，S=

16 5

5

，
当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），则圆心O到直线l的距离d=

|2k|

k2+1

，
因此t=|MN|=2

8- 4k2 k2+1

≤2

7

，得k2≥

1

3

，
联立方程组：

y=k(x+2) x2 20 + y2 4 =1

得（1+5k²）y²-4ky-16k²=0，
由韦达定理知，y1+y2=

4k

1+5k2

，y1y2=-

16k2

1+5k2

，
所以|y1-y2|=4

5

4k4+k2 (1+5k2)2

，
因此S=

1

2

•4•|y1-y2|=8

5

4k4+k2 (1+5k2)2

．
设u=1+5k2，u≥

8

3

，所以S=

8 5

5

-( 1 u + 3 2 )2+ 25 4

，所以S∈[

35

，

16 5

5

)，
综上所述：△B₂PQ的面积S∈[

35

，

16 5

5

]．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．