Question

【题目】已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（2）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得直线BD的方程为y=x+1．

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．

于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．

由 得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．

因为A，C在椭圆上，

所以△=﹣12n2+64＞0，解得 ．

设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则 ， ，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．

所以 ．

所以AC的中点坐标为 ．

由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，

所以 ，解得n=﹣2．

所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．

（2）解：因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，

所以|AB|=|BC|=|CA|．

所以菱形ABCD的面积 ．

由（1）可得 ，

所以 ．

所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值

【解析】（1）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2 ， 代入直线方程可表示出y1+y2 ， 进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．（2）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值．