Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M: 及其上一点A（2，4）

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；

（3）设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.

试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.

（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，

所以，于是圆N的半径为，从而，解得.

因此，圆N的标准方程为.

（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.

设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，

则圆心M到直线l的距离

因为

而

所以，解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

（3）设

因为，所以……①

因为点Q在圆M上，所以…….②

将①代入②，得.

于是点既在圆M上，又在圆上，

从而圆与圆没有公共点，

所以解得.

因此，实数t的取值范围是.