Question

已知函数，则（ ）
A．函数f（x）的周期为2π
B．函数f（x）在区间上单调递增
C．函数f（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）的图象关于点对称

Answer 1

【答案】分析：将函数解析式去括号后，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数的周期，即可对于选项A作出判断；由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出函数的单调性，即可对于选项B作出判断；由正弦函数的对称轴为kπ+，k∈Z，即可对于选项C作出判断；由正弦函数的对称中心为kπ，k∈Z，即可对于选项D作出判断．
解答：解：f（x）=cosxsinx-cos²x=sin2x-（cos2x+1）=sin（2x-）-，
∵ω=2，∴T=π，故选项A错误；
∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，0]，
当2x+∈[-，-]时，f（x）单调递减；当2x+∈[-，0]时，f（x）单调递增，
故选项B错误；
令2x-=kπ+，k∈Z，解得：x=kπ+，k∈Z，
当k=-1时，x=-，即函数f（x）的图象关于直线x=-对称，故选项C正确；
令2x-=kπ，k∈Z，解得：x=kπ+，k∈Z，
∴当k=0时，x=，可得函数图象关于（，-）对称，故选项D错误，
故选C
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．