Question

【题目】已知直线x+y﹣1=0与椭圆 相交于A，B两点，线段AB中点M在直线 上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

由 得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0．

△=﹣（2a2）2﹣（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，即a2+b2＞1．

x1+x2= ，y1+y2=﹣（ x1+x2）+2= ，

∴点M的坐标为（ ， ）．

又点M在直线l上，

∴ ﹣ =0，

∴a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a2=2c2，

∴

（2）解：由（1）知b=c，设椭圆的右焦点F（b，0）关于直线 的对称点为（x0，y0），

由 ，解得

∵x02+y02=1，

∴ ，

∴b2=1，显然有a2+b2=3＞1．

∴所求的椭圆的方程为

【解析】（1）设出A、B两点的坐标，联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x1+x2 ， y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．（2）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l的对称点为（x0 ， y0），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x0、y0；代入圆的方程 x02+y02=1，得出b的值，从而得椭圆的方程．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．