【题目】已知椭圆
： 
（
）的左右焦点分别为
， 
，若椭圆上一点
满足
，且椭圆
过点
，过点
的直线
与椭圆
交于两点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作
轴的垂线，交椭圆
于
，求证： 
， 
， 
三点共线.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】试题分析：
（1）由椭圆定义可得
，再把点
的坐标代入可求得
，得椭圆方程；
（2）由于
的坐标为
，因此我们可以求出直线
的方程，再证明点
在此直线上即可．为此设设
的方程为
，点
， 
， 
，联立直线方程与椭圆方程，消元后得一元二次方程，用韦达定理得
，写出直线
方程，并把
代入得直线方程，令
，求出
，利用
可得结果
，结论得证．
试题解析：
（1）依题意， 
，故
.
将
代入
中，解得
，故椭圆
： 
.
（2）由题知直线
的斜率必存在，设
的方程为
.
点
， 
， 
，联立
得
.
即
， 
， 
， 
由题可得直线
方程为
，
又∵
， 
.
∴直线
方程为
，
令
，整理得
，即直线
过点
.
又∵椭圆
的左焦点坐标为
，∴三点
， 
， 
在同一直线上.
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【题目】已知函数
满足
．
（Ⅰ）当
时，解不等式
；
（Ⅱ）若关于x的方程
的解集中有且只有一个元素，求a的值；
（Ⅲ）设
，若对
，函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
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【题目】设椭圆
的左焦点为
，离心率为
，为圆
的圆心.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆右焦点
的直线
交椭圆于
两点，过且与垂直的直线
与圆
交于
两点，求四边形
面积的取值范围.
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【题目】[2018·郴州期末]已知三棱锥
中，
垂直平分
，垂足为
，
是面积为
的等边三角形，
，
，
平面
，垂足为
，
为线段
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求
与平面
所成的角的正弦值．
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【题目】已知抛物线C：
=2px经过点
（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，
，
，求证：
为定值．
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【题目】设抛物线C:
的焦点为F，抛物线上的点A到
轴的距离等于
.
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知经过抛物线C的焦点F的直线
与抛物线交于A，B两点，证明： 
为定值．
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