Question

设F为椭圆+y²=1的右焦点,O为坐标原点,P为坐标平面上一动点,且·=t(t＞-1且t为常数).

(1)求点P的轨迹方程.

(2)当t=时,是否存在直线l,使l是椭圆与(1)中轨迹的公切线?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)设P(x,y),∵F(2,0),∴=(-x,-y),=(2-x,-y).于是·=-x(2-x)+y²,

即(x-1)²+y²=t+1,故点P的轨迹方程为(x-1)²+y²=t+1(t＞-1).

(2)当t=-时,点P的轨迹(x-1)²+y²=.

椭圆的左,右顶点分别为(-,0),(,0),而圆与轴的两交点为(1-,0),(1+,0),

∵-＜1-,1+＜,

∴垂直于x轴的直线不可能与两曲线相切.

设公切线方程为y=kx+b,由题意可得=k²+8kb+4b²-3=0,①   

把y=kx+b代入椭圆方程,得(5k²+1)x²+10kbx+5b²-5=0,由Δ=0,得-5k²+b²-1=0,即b²=5k²+1,②

将②代入①,得8kb=-21k²-1,③ 

②③联立,得k=±,由③知k、b异号,∴k=或

∴符合条件的直线存在,其方程为

y=x或y=x+.