Question

(理)设a＞0,函数f(x)=+a.

(1)若f(x)在区间(0,1］上是增函数,求a的取值范围;

(2)求f(x)在区间(0,1］上的最大值.

(文)设直线l:y=x+1与椭圆=1(a＞b＞0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点F.

(1)证明a²+b²＞1;

(2)若F是椭圆的一个焦点,且,求椭圆的方程.

Answer 1

答案：(理)解：(1)对函数f(x)求导数,得f′(x)=1.

要使f(x)在区间(0,1]上是增函数,只要f′(x)=1≥0在(0,1]上恒成立,

即a≤在(0,1]上恒成立.

因为1+在(0,1]上单调递减,所以1+在(0,1]上的最小值是.

注意到a＞0,所以a的取值范围是(0,].

(2)①当0＜a≤时,由(1),知f(x)在(0,1]上是增函数,此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1)=1+(1-)a.

②当a＞时,令f′(x)=1=0,解得x=∈(0,1).

因为当0＜x＜时,f′(x)＞0;当＜x＜1时,f′(x)＜0,

所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减.

此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f()=a-a²-1.

综上,当0＜a≤时,f(x)在区间(0,1]上的最大值是1+(1-)a;

当a＞时,f(x)在区间(0,1]上的最大值是.

(文)(1)证明:将y=x+1,代入=1,消去x,得(a²+b²)y²-2b²y+b²(1-a²)=0.① 

由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得Δ=4b⁴-4b²(a²+b²)(1-a²)=4a²b²(a²+b²-1)＞0,

所以a²+b²＞1.

(2)解:设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由①,得y₁+y₂=,y₁y₂=.

因为,得y₁=-2y₂.所以y₁+y₂==-y₂,y₁y₂==-2y₂².

消去y₂,得=-2()²,化简,得(a²+b²)(a²-1)=8b².

若F是椭圆的一个焦点,则c=1,b²=a²-1,代入上式,解得a²=,b²=,

所以椭圆的方程为=1.