Question

【题目】如图线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．
（1）求抛物线方程；
（2）若 =﹣1，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），

设直线AB的方程为y=k（x﹣m）（k≠0）

联立这两个方程组消去x得，ky2﹣2py﹣2pkm=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由已知得|y1||y2|=2m，注意到y1y2＜0，∴y1y2=﹣2m，

又y1y2=﹣2pm，∴﹣2m=﹣2pm，∵m＞0，∴p=1．

∴抛物线方程为y2=2x

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 =（x1，y1）， =（x2，y2）．

则 =x1x2+y1y2=+y1y2=m2﹣2m．

又 =﹣1，

∴m2﹣2m=﹣1，解得m=1

【解析】（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），设直线AB的方程为y=k（x﹣m）（k≠0），联立这两个方程组，得ky2﹣2py﹣2pkm=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出抛物线方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则 =x1x2+y1y2=+y1y2=m2﹣2m，由此能求出m．