Question

【题目】已知函数f（x）= （a∈R）.

（Ⅰ）求f（x）在区间[-1,2]上的最值；

（Ⅱ）若过点P（1,4）可作曲线y=f（x）的3条切线，求实数a的取值范围。

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得到函数的单调性，根据单调性求得函数的极值和端点值，比较可得函数的最值；（Ⅱ）设切点，进而得直线的斜率为，若曲线有3条切线，则方程有3个实数根， 即方程有3个根，然后构造函数利用单调性、极值求解。

试题解析：

（Ⅰ）∵ f（x）=

，

由解得或；

由解得，

又，

所以在上单调递减，在上单调递增．

又 ，

∴最大值是，最小值是．

(Ⅱ) 设切点

∴直线的斜率为

，

整理得，

由题意知此方程应有3个解．

令，

∴，

由解得或，由解得，

∴ 函数在， 上单调递增，在上单调递减．

∴ 当时， 有极大值，且极大值为；

当时， 有极小值，且极小值为；

要使得方程有3个根，

则，

解得，

∴ 实数a的取值范围为．