Question

【题目】当今世界科技迅猛发展，信息日新月异．为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查．该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统计如表：

	借阅科技类图书（人）	借阅非科技类图书（人）
年龄不超过50岁	20	25
年龄大于50岁	10	45

（1）是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？

（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书．用表中的样本频率作为概率的估计值．

（i）现有3名借阅者每人借阅一本图书，记此3人增加的积分总和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（ii）现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？

附：K2，其中n＝a+b+c+d．

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】（1）有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；（2）（i）分布列详见解析，数学期望为3.9；（ii）5人．

【解析】

（1）根据K2的表达式代入计算即可判断；

（2）（i）由题知借阅科技类图书的概率P，若这3人增加的积分总和为随机变量ξ，分别计算出P（ξ＝3），P（ξ＝4），P（ξ＝5），P（ξ＝6），即可得到分布列及期望；

（ii）根据题意得随机变量X满足X～B（16，）的二项分布，列出不等式组，解出即可

解：（1）K28.129＞6.635，

所以有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；

（2）（i）因为用表中的样本频率作为概率的估计值，所以借阅科技类图书的概率P，

因为3名借阅者每人借阅一本图书，这3人增加的积分总和为随机变量ξ，

所以随机变量ξ的可能取值为3，4，5，6，

P（ξ＝3）

P（ξ＝4）

P（ξ＝5）

P（ξ＝6），

从而ξ的分布列为：

ξ	3	4	5	6
P

所以E（ξ）＝34563.9；

（ii）记16人中借阅科技类图书的人数为X，则随机变量X满足二项分布X～B（16，）

设借阅科技类图书最有可能的人数时k（k＝0，1，2，……，16）

则，

而，，

解得4.1≤k≤5.1，

故k＝5，

所以16人借阅科技类图书最有可能的人数是5人