Question

已知双曲线的方程为16x²-9y²=144．
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和准线方程；
（2）求以双曲线的中心为顶点，左顶点为焦点的抛物线的方程．

Answer 1

分析：（1）将双曲线化成标准方程，得

x2

9

-

y2

16

=1，从而算出a、b、c值，进而可得焦点坐标、离心率和准线方程；
（2）由双曲线的左焦点坐标为（-3，0），设抛物线方程为y²=-2px（p＞0），可得

p

2

=3从而算出2p=12，可得所求抛物线的方程．

解答：解：∵双曲线的方程为16x²-9y²=144
∴化双曲线为标准方程，可得

x2

9

-

y2

16

=1，…（1分）
（1）∵a=3，b=4，∴c=

a2+b2

=5，

c

a

=

5

3

，

a2

c

=

9

5

∴此双曲线的焦点坐标为（±5，0），离心率为

5

3

，
准线方程为x=±

9

5

．　 …（7分）
（2）∵双曲线的中心为（0，0），左顶点为（-3，0），
∴所求抛物线的顶点为（0，0），焦点为（-3，0）
设抛物线方程为y²=-2px（p＞0），可得

p

2

=3，2p=12
∴所求抛物线的方程为y²=-12x．  …（12分）

点评：本题给出双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和准线，并依此求另一抛物线的方程，着重考查了抛物线、双曲线的定义与标准方程等知识，属于基础题．