Question

【题目】已知函数.

（1）当时，探究零点的个数；

（2）①证明：；

②当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见证明；②见证明

【解析】

（1）利用导函数对a进行讨论判断即可．
（2）①对所证函数化简，即证明，利用导函数研究其单调性，求解最值问题即可证明；②用（1）的结论，求出零点，得出单调性，计算最值，然后用进行替换，然后用去掉，转化为关于的一次式，代入即可证明.

（1）解：，定义域为.

二次函数的判别式为，对称轴为.

当时，二次函数的图像开口向下，判别式为，

所以在上有1个零点；

当时，在上无零点；

当时，二次函数的图像开口向上，

①，即时，在上无零点；

②，即时，在上有1个零点；

③，即时，在上有2个不同的零点；

综上，当时，在上无零点；

当时，在上有1个零点；

当时，在上有2个不同的零点；

（2）①要证明：，只需要证明：.

令，定义域为，，

所以，不难得到的最大值为，所以成立；

②由（1）得，当时，在上有1个零点；设零点为，

则，解得，，

进一步，当时，，当时，，

所以

（※）

由（2）①得，

（※） .