Question

（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，且 N.
（1） 求数列的通项公式；
（2）若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断
是否成等比数列？并说明理由.

Answer 1

（1）（2）不是等比数列，假设成等比数列，则， 即，
化简得：. （*） ∵，∴，这与（*）式矛盾，故假设不成立

解析试题分析：(1) 解：，
∴ 当时，有  解得 .
由,              ①
得, ② 
② - ①得: .            ③ 
以下提供两种方法：
法1：由③式得：，
即; 
，
∵，
∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列.                  
∴,即.
当时, ，
又也满足上式,
∴.
法2：由③式得：，
得.                      ④ 
当时,,            ⑤ 
⑤-④得：.     
由，得，
∴. 
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.   ∴.
（2）解：∵成等差数列，
∴.
假设成等比数列，
则，
即，
化简得：.       （*）
∵，
∴，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分
∴不是等比数列.
考点：数列的通项公式、数列的前项和
点评：本题需要构造新数列，难度很大，求解中用到的关系式
第二问中的反证法的应用比综合法分析法更简单实用；本题还考查了合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力