Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且an=

n

n-1

an-1+2n•3n-2（n≥2，n∈N^*）．
（I）求a₂，a₃的值及数列{a_n}的通项公式；
（II）令bn=

3n-1

an

(n∈N*)，数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S2n与n的大小；
（III）令cn=

an+1

n+1

(n∈N*)，数列{

2cn

(cn-1)2

}的前n项和为T_n，求证：对任意n∈N^*，都有T_n＜2．

Answer 1

分析：（I）代入n=2，n=3即可求得a₂，a₃的值；递推式两边同除以n得

an

n

=

an-1

n-1

+2•3n-2．利用累加法可得

an

n

，从而得a_n，注意检验n=1时的情形；
（II）先由（Ⅰ）求出b_n，令f（n）=S2n-n，通过作差可比较f（n+1）与f（n）的大小，从而得知f（n）的单调性，易比较n=1、2、3时f（n）与n的大小，结合其单调性可得结论；
（III）由（Ⅰ）易求c_n，

2cn

(cn-1)2

，对

2cn

(cn-1)2

进行放大后裂项，则可用裂项相消法求得T_n，进而可得结论；

解答：（I）解：当n=2时，a2=

2

2-1

a2-1+2•2•32-2=2+4=6，
当n=3时，a3=

3

3-1

a3-1+2•3•33-2=9+18=27．
因为an=

n

n-1

an-1+2n•3n-2，所以

an

n

=

an-1

n-1

+2•3n-2．
当n≥2时，由累加法得

an

n

-

a1

1

=2+2×3+2×32+…+2×3n-2，
因为a₁=1，所以n≥2时，有

an

n

=1+

2(1-3n-1)

1-3

=3n-1，即an=n•3n-1(n≥2)．
又n=1时，a1=1•31-1=1，
故an=n•3n-1(n∈N*)．
（II）解：n∈N*时，bn=

3n-1

an

=

1

n

，则S2n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

．
记函数f(n)=S2n-n=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)-n，
所以f(n+1)=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1

)-(n+1)．
则f(n+1)-f(n)=(

1

2n+1

+

1

2n+2

+…+

1

2n+1

)-1＜

2n

2n+1

-1＜0．
所以f（n+1）＜f（n）．
由于f(1)=S21-1=(1+

1

2

)-1＞0，此时S21＞1；f(2)=S22-2=(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

)-2＞0，
此时S22＞2；f(3)=S23-3=(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

)-3＜0，此时S23＜3；
由于f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时S2n＜n．
综上所述，当n=1，2时，S2n＞n；当n≥3（n∈N*）时，S2n＜n．
（III）证明：对于cn=

an+1

n+1

=3n，有

2cn

(cn-1)2

=

2×3n

(3n-1)2

．
当n≥2时，

2×3n

(3n-1)2

≤

2×3n

(3n-1)(3n-3)

=

2×3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

．
所以当n≥2时，Tn=

3

2

+

2×32

(32-1)2

+…+

2×3n

(3n-1)2

≤

3

2

+(

1

2

-

1

32-1

)+(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)=2-

1

3n-1

＜2．
且T1=

3

2

＜2．
故对n∈N*，T_n＜2得证．

点评：本题考查利用数列递推式求通项公式、数列求和、综合应用数列解决问题，考查学生解决问题的能力．