Question

【题目】已知椭圆的长轴长与焦距分别为方程的两个实数根.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线过点且与椭圆相交于，两点，是椭圆的左焦点，当面积最大时，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，解方程，可求出、的值，进而求出的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的标准方程联立，列出韦达定理，求出的面积关于的表达式，换元，利用基本不等式求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出直线的斜率.

（1）设椭圆的焦距为，由可得，，

所以，，即，.所以，

故椭圆的标准方程为；

（2）设直线的方程为，设、，

与椭圆方程联立得，消去得.

则，所以.

由根与系数的关系知，，

所以.①

令，则①式可化为.

当且仅当，即时，等号成立.

此时，所以直线的斜率为.