Question

已知a＞0，f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值；
（Ⅲ）证明对任意的a=n（n∈N^*），函数y=f（x）总有单调递减区间，并求出f（x）单调递减区间的长度的取值范围．（区间[x₁，x₂]的长度=x₂-x₁）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据点P（0，f（0））为切点，求出f（0）=1，则P（0，1），再利用导数的几何意义可得切线的斜率k=f′（0），利用点斜式求出切线方程，化简即可得到答案；
（Ⅱ）将切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，转化为ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1有且只有一个实数解，令h（x）=ax²-x+ln（x+1），研究h（x）=0的解的个数问题，求出h′（x）=0的根，对a进行分类讨论，当a=

1

2

时，h（x）=0只有一个解，符合题意，当0＜a＜

1

2

时，利用函数的单调性和极值，确定方程h（x）=0有两个根，不符合题意，当a＞

1

2

时，利用函数的单调性和极值，确定方程h（x）=0有两个根，不符合题意，综合上述，确定a的值；
（Ⅲ）求出f′(x)=

2ax2+(2a-2)x-1

x+1

，令k（x）=2ax²+（2a-2）x-1，根据x+1＞0，则将f′（x）＜0等价于k（x）=2ax²+（2a-2）x-1＜0，利用二次函数的性质，可知方程k（x）=0有两个不同的根x₁，x₂，其中-1＜x₁＜x₂，确定f（x）的减区间为[x₁，x₂]，所以化简区间长度为x₂-x₁=

1+ 1 a2

，根据a=n代入即可得x₂-x₁=

1+ 1 n2

，利用单调性确定x₂-x₁的取值范围，从而得到f（x）单调递减区间的长度的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），且点P（0，f（0））为切点，
∴f（0）=1，
又f′(x)=2ax-2+

1

x+1

=

2ax2+(2a-2)x-1

x+1

，
∴切线的斜率k=f′（0）=-1，又切点P（0，1），
∴由点斜式可得，y-1=-1×（x-0），即x+y-1=0，
∴切线l的方程为x+y-1=0；
（Ⅱ）切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1有且只有一个实数解，
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），则h（x）=0有且只有一个实数解，
∵h（0）=0，
∴h（x）=0有一个解为x=0，
又h′(x)=2ax-1+

1

x+1

=

2ax2+(2a-1)x

x+1

=

2ax[x-( 1 2a -1)]

x+1

，
①a=

1

2

，h′(x)=

x2

x+1

≥0(x＞-1)，h(x)在（-1，+∞）上单调递增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解，
∴a=

1

2

符合题意；
②0＜a＜

1

2

，h′(x)=0，x1=0，x2=

1

2a

-1＞0，
列表如下：

x	（-1，0）	0	(0， 1 2a -1)	1 2a -1	( 1 2a -1，+∞)
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	极大值0	↘	极小值	↗

∴h(

1

2a

-1)＜h(0)=0，h(

1

a

)=a×

1

a2

-

1

a

+ln(

1

a

+1)＞0，
∴方程h（x）=0在(

1

2a

-1，+∞)上还有一解，
∴方程h（x）=0的解不唯一；
∴0＜a＜

1

2

不符合题意；
③当a＞

1

2

，h′(x)=0，x1=

1

2a

-1，x₂=0，
列表如下：

x	(-1， 1 2a -1)	1 2a -1	( 1 2a -1，0)	0	（0，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	极大值	↘	极小值0	↗

∴h(

1

2a

-1)＞h(0)=0，
又当x＞-1且x趋向-1时，ax²-x＜a+1，
∴ln（x+1）趋向-∞，
∴h（x）趋向-∞．
∴方程h（x）=0在(-1，

1

2a

-1)上还有一解，
∴方程h（x）=0的解不唯一；
∴a＞

1

2

不符合题意．
综合①②③，当l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，a=

1

2

；
（Ⅲ）证明：∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），
∴f′(x)=

2ax2+(2a-2)x-1

x+1

，
令k（x）=2ax²+（2a-2）x-1，
∵x＞-1，
∴f′（x）＜0等价于k（x）=2ax²+（2a-2）x-1＜0，

∵△=（2a-2）²+8a=4（a²+1）＞0，对称轴x=-

2a-2

4a

=-

1

2

+

1

2a

＞-1，k（-1）=2a-（2a-2）-1=1＞0，
∴k（x）=0有两个不同的解设为x₁，x₂，其中-1＜x₁＜x₂，且x1+x2=-

2a-2

2a

，x1x2=-

1

2a

，
∴当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，
∴y=f（x）的减区间为[x₁，x₂]，
∴x2-x1=

(x2+x1)2-4x2x1

=

(- 2a-2 2a )2+4× 1 2a

=

1+ 1 a2

，
∴当a=n（n∈N^*）时，区间长度x2-x1=

1+ 1 n2

≤

1+ 1 12

=

2

，
∴减区间长度x₂-x₁的取值范围为(1，

2

]．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．根据极值和单调性确定函数的简图，利用数形结合的数学思想方法求解交点个数问题．属于中档题．