Question

设计一种正四棱柱形冰箱，它有一个冷冻室和一个冷藏室，冷藏室用两层隔板分为三个抽屉，问：如何设计它的外形尺寸，能使得冰箱体积V=0.5（m³）为定值时，它的表面和三层隔板（包括冷冻室的底层）面积之和S值最小．（参考数据：

3	0.2

≈0.58，

3	0.5

≈0.79，0.58²=0.3364，0.79²=0.6241）

Answer 1

分析：设水箱的底面边长为x（m），则高为

0.5

x2

(m)，得出S=5x2+4x•

0.5

x2

=5x2+

2

x

(x＞0)
方法1：求出s′=0时的驻点，分区间函数S在(0，

3	0.2

)上递减，在(

3	0.2，

+∞)上递增，得到函数的最小值即可；
方法2：利用a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法求出此时的x值并求出高即可．

解答：解：设水箱的底面边长为x（m），则高为

0.5

x2

(m)，S=5x2+4x•

0.5

x2

=5x2+

2

x

(x＞0)
法1：S/=10x-

2

x2

，
由S/＞0?x＞

3	0.2

，S/＜0?0＜x＜

3	0.2

，
∴函数S在(0，

3	0.2

)上递减，在(

3	0.2，

+∞)上递增，
∴x=

3	0.2

≈0.58时，S有最小值，此时

0.5

x2

≈1.49
法2：S=5x2+

1

x

+

1

x

≥3•

3	5x2• 1 x • 1 x

=3

3	5

（当且仅当5x2=

1

x2

即x=

3	0.2

≈0.58时，取等号）
∴x=

3	0.2

≈0.58时，S有最小值3

3	5

，此时

0.5

x2

≈1.49
答：冰箱底面正方形边长为0.58m，高度为1.49m时，它的表面和三层隔板（包括冷冻室的底层）面积之和S值最小．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及会用导数求闭区间上函数的最值和利用公式a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法求函数最值的能力．