Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.

Answer 1

外接球体积为×OA³=··=

解析:

  由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1

∴折叠后得到一个正四面体.                                                       2分

方法一  作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心.

取EC的中点G，连接DG、AG，

过球心O作OH⊥平面AEC.

则垂足H为△AEC的中心.                                                  4分

∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.

∵AG=，AF==，                                      6分

在△AFG和△AHO中，根据三角形相似可知，

AH=.∴OA===.                               10分

∴外接球体积为×OA³=··=.                 14分

方法二  如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体

的外接球就是正方体的外接球.                                             6分

∵正四面体的棱长为1，

∴正方体的棱长为，∴外接球直径2R=·，               10分

∴R=，∴体积为·=.                             12分

∴该三棱锥外接球的体积为.                                               14分