Question

 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M、N分别是AB、PC的中点．

    （1）求二面角P-CD-B的大小；

（2）求证：平面MND⊥平面PCD；

（3）求点P到平面MND的距离．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一：（1）∵ PA⊥平面ABCD，

∴ AD是PD在平面ABCD上的射影．

由ABCD是正方形知AD⊥CD，

∴ PD⊥CD．

∴ ∠PDA是二面角P-CD-B的平面角．

∵ PA=AD，

∴ ∠PDA=45º，

即二面角P-CD-B的大小为45º．………3分

（2）如图，建立空间直角坐标系至A-xyz，则

P(0，0，2)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，

M(1，0，0)，

∵ N是PC的中点，

∴ N(1，1，1)，

∴ (0，1，1)，(-1，1，-1)，(0，2，-2)．

设平面MND的一个法向量为m=(x₁，y₁，z₁)，平面PCD的一个法向量为n=(x₂，y₂，z₂)．

∴ m，m，即有 

令z₁=1，得x₁=-2，y₁=-1．

∴ m=(-2，-1，1)．

同理由n，n，即有

令z₂=1，得x₂=0，y₂=1，

∴ n=(0，1，1)．

∵ m·n=-2×+(-1)×1+1×1=0，

∴ m⊥n．

∴ 平面MND⊥平面PCD．……………………………………………………………6分

（3）设P到平面MND的距离为d．

由（2）知平面MND的法向量m=(-2，-1，1)

∵ m=(0，2，-2)·(-2，-1，1)=-4，

∴ |m |=4．

又 |m|=，

∴ d=

即点P到平面MND的距离为．………………………………………………10分

解法二：（1）同解法一．

（2）作PD的中点E，连接AE，如图．

∵ NE平行且等于，AM平行且等于，

∴ NE与AM平行且相等，于是四边形AMNE是平行四边形，

∴ AE//MN．

∵ PA=AD，

∴ AE⊥PD．

∵ PA⊥面ABCD，

∴ PA⊥CD．

又∵ CD⊥AD，

∴ CD⊥面PAD．

∴ CD⊥AE．

∴ AE⊥面PCD．

∴ MN⊥面PCD．

又∵ MN面MND，

∴ 平面MND⊥平面PCD．……………………6分

（3）设P到平面MND的距离为d，

由，有，

即，

∴ ．

∵ 在Rt△PDC中，．

又PD=2，NE=AM=AB=1，

∴，

即P到平面MND的距离为．…………………………………………………10分