Question

已知数列{ }、{ }满足：.
（1）求
（2）证明：数列{}为等差数列，并求数列和{ }的通项公式；
（3）设，求实数为何值时 恒成立.

Answer 1

（1） ；（2） ， ；

解析试题分析：（1）由，
可求出 ；
（2）扣住等差数列的定义，从定义出发进行证明，
利用条件推导出，即得证：
∵
∴，
∴
∴ 数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列
∴  
  ∴
（3）借助前两问，利用裂项求和法，可得出
，问题转化为
设f(n)= <0，恒成立问题，
对进行讨论，分三种情况，从而可得出答案，见详解.
试题解析：（1） ∵     ∴ 
（2）∵
∴，
∴，  ∴
∴ 数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列
∴  
  ∴
（3）已知  ，所以


由条件可知恒成立即可满足条件.
设f(n)=
当=1时，f(n)=-3n-8<0恒成立；
当>1时，由二次函数的性质知不可能成立；
当<1时，对称轴，f(1)在为单调递减函数，
f(1)= ==4-15<0
所以<  
所以<1时恒成立
综上知，时 ，恒成立 .
考点：等差数列，等比数列，二次函数，分类讨论.