Question

【题目】如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，，E为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积；

（3）在侧棱上是否存在一点M，满足平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）利用菱形的性质，可得F为的中点，再利用三角形的中位线定理可得，利用线面平行的判定定理即可得出；

（2）由已知底面，可得为三棱锥的高，利用，以及三棱锥的体积计算公式即可得出；

（3）利用三垂线定理可得，在平面内，作，垂足为，求得的长，即可知道点是否在线段上.

（1）设，相交于点F，连接，

∵四棱锥底面为菱形，

∴F为的中点，

又∵E为的中点，∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵底面为菱形，，

∴是边长为2的正三角形，

又∵底面，

∴为三棱锥的高，

∴.

（3）在侧棱上存在一点M，满足平面，证明如下：

∵四棱锥的底面为菱形，

∴，

∵平面，平面，

∴.

∵，∴平面，

∴.

在内，可求，，

在平面内，作，垂足为M，

设，则有，

解得.

连接，∵，，，平面，平面.

∴平面.

∴满足条件的点M存在，此时的长为.