Question

【题目】已知定义在上的函数存在零点，且对任意都满足，若关于的方程（）恰有三个不同的根，则实数的取值范围是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

令函数y＝f（x）的零点为m，即f（m）＝0，则由对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．可得f[f（x）]＝x，进而x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．

令函数y＝f（x）的零点为m，即f（m）＝0，

∵对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．

则f[f（n）]＝n恒成立，

即f[f（x）]＝x，

若关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，

即|x﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，

当0＜a＜1时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：

由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；

当1＜a＜3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：

由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有一个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有一个不同的根，不满足条件；

当a＝3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：

由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；

当a＞3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：

由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有三个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，满足条件；

综上所述，实数a的取值范围是（3，+∞），

故答案为：（3，+∞）