Question

【题目】已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于两点，与交于点，四边形和的面积分别为.求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形，其面积为， ，又在椭圆上，所以，解方程组得，

（2）先确定面积计算方法： ， ，再确定计算方向：设，根据

两点间距离公式求，根据两直线交点求点横坐标，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理求弦长，最后根据表达式形式，确定求最值方法（基本不等式求最值）

试题解析：

（1）因为在椭圆上，所以，

又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，

解得，所以椭圆的方程为

（2） 由（1）可知，设，

则当时， ，所以，

直线的方程为，即，

由得，

则，

，

，

又，所以，

由，得，所以，

所以，

当，直线， ， ， ， ，

所以当时， .