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    甲、乙两个射手进行射击训练，甲击中目标的概率为
    2
    3
    ，乙击中目标的概率为
    3
    4
    ，每人各射击两发子弹为一个“单位射击组”，若甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多，则称此组为“单位进步组”．
    （1）求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率；
    （2）记完成三个“单位射击组”后出现“单位进步组”的次数ξ，求ξ的分布列与数学期望．
    分析：（1）由题意知每人各射击两发子弹，甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多，甲击中目标一次和两次都有对应乙不如甲，而甲是单位进步组”，而这两种情况是互斥的，由互斥事件和独立重复试验公式得到结果．
    （2）由上一问得到成为“单位进步组”的概率，看出变量的可能情况，根据独立重复试验得到变量对应的事件的概率，写出分布列，算出期望．
    解答：解：（1）由题意知每人各射击两发子弹，若甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多，
    则称此组为“单位进步组”．甲击中目标一次和两次都有对应乙不如甲，而甲是单位进步组”，
    设甲击中目标2次时为“单位进步组”的概率为P1，
    则P1=(
    2
    3
    )    2    ×[
    C
    1
    2
    ×
    3
    4
    ×
    1
    4
    +(
    1
    4
    )    2    ]    =
    7
    36

    设甲击中目标1次时为“单位进步组”的概率为P2，
    则P2=
    C
    1
    2
    ×
    2
    3
    ×
    1
    3
    ×(
    1
    4
    )    2    =
    1
    36
    ．
    故一个“单位射击组”成为“单位进步组”的概率为P=P1+P2=
    2
    9
    ．
    （2）由（1）知，一个“单位射击组”成为“单位进步组”的概率P（A）=
    2
    9

    不能成为“单位进步组”的概率P（
    .
    A
    ）=
    7
    9
    ．
    ξ可能取值为0，1，2，3．
    根据独立重复试验公式得到结果，
    P（ξ=0）=(
    7
    9
    )    3    =
    343
    729
    ，
    P（ξ=1）=
    C
    1
    3
    ×
    2
    9
    ×(
    7
    9
    )    2    =
    294
    729

    P（ξ=2）=
    C
    2
    3
    ×(
    2
    9
    )    2    ×
    7
    9
    =
    84
    729

    P（ξ=3）=(
    2
    9
    )    3    =
    8
    729


    ∴ξ的分布列为
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    ∴ξ的数学期望Eξ=0×
    323
    749
    +1×
    294
    729
    +2×
    84
    729
    +3×
    8
    729
    =
    2
    3
    ．
    点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式．
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    （1）求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率；（2）现要完成三个“单位射击组”，记出现“单位进步组”的次数为，求的分布列与数学期望.

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    （1）求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率；

    （2）记完成三个“单位射击组”后出现“单位进步组”的次数，求的分布列与数学期望.

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    （1）求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率；
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    （1）求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率；
    （2）记完成三个“单位射击组”后出现“单位进步组”的次数ξ，求ξ的分布列与数学期望．

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