Question

一辆汽车的电路发生故障，电路板上共有10个二极管，只知道其中有两个是不合格，但不知道是哪两个． 现要逐个用仪器进行检测，但受于仪器的限制，最多能检测6个二极管，若将两个不合格的二极管全部查出即停止检测，否则一直检测到6个为止． 设ξ是检查二极管的个数．
（1）求ξ的分布列（结果用分数表示）；
（2）求检查二极管不超过4个时，已查出两个不合格二极管的概率；
（3）求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：ξ可能取的值为2，3，4，5，6，再结合题意分别求出其发生的概率进而求出ξ的分布列．
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，结合题意所求事件包括三种情况，即包含以ξ=2，ξ=3，ξ=4，再结合（1）即可得到答案．
（3）由（1）并且结合有关的公式即可得到答案．

解答：解：（1）由题意可得：ξ可能取的值为2，3，4，5，6，
所以P（ξ=2）=

A 2 2

A 2 10

=

1

45

，P（ξ=3）=

C 1 2 C 1 8 A 2 2

A 3 10

=

2

45

，P（ξ=4）=

C 1 2 C 2 8 A 3 3

A 4 10

=

1

15

，P（ξ=5）=

C 1 2 C 3 8 A 4 4

A 5 10

=

4

45

，P（ξ=6）=

C 1 2 C 4 8 A 5 5 + A 6 8 + C 1 2 C 5 8 A 6 6

A 6 10

=

7

9

，
所以ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5	6
P	1 45	2 45	1 15	4 45	7 9

（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
检查二极管不超过4个时，已查出两个不合格二极管包括三种情况，即包含以ξ=2，ξ=3，ξ=4，
并且题意可得这三种情况是互斥的，
∴根据等可能事件的概率和互斥事件的概率公式可得：P=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）=

2

15

，
∴检查二极管不超过4个时，已查出两个不合格二极管的概率为

2

15

．
（3）由（1）可得：Eξ=2×

1

45

+3×

2

45

+4×

1

15

+5×

4

45

+6×

7

9

=

50

9

．

点评：本题主要考查等可能事件的概率与互斥事件的概率公式，以及考查离散型随机变量的分布列、数学期望与排列组合有关的知识点，解决此题的关键是看清要求概率的事件所包含的结果，再结合题意分类进行求解，在分类时要做到不重不漏．