Question

(2007四川，19)如下图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1．∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；

(2)求二面角M－AC－B的大小；

(3)求三棱锥P－MAC的体积．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)∵PC⊥AB，PC⊥BC，， ∴PC⊥平面ABC．又∵PC平面PAC， ∴平面PAC⊥平面ABC． (2)取BC的中点N，则CN=1． 连结AN、MN，∵． ∴，从而MN⊥平面ABC． 作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，AC⊥MH，从而∠MHN为二面角M－AC－B的平面角． ∵直线AM与直线PC所成的角为60°， ∴∠AMN=60°． 在△ACN中，由余弦定理得 ． 在Rt△AMN中，．在Rt△CNH中， ． 在Rt△MNH，． 故二面角M－AC－B的大小为． (3)由(2)知，PCNM为正方形， ． 解法二：(1)同解法一． (2)在平面ABC内，过C作CD⊥CB．建立空间直角坐标系C－xyz(如图)， 由题意有． 设则， ，． 由直线AM与直线PC所成的角为60°， 得， 即，解得． ，设 平面MAC的一个法向量为 ． 则取， 得． 平面ABC的法向量取为m=(0，0，1)． 设m与n所成角为θ， 则，显然，二面角M－AC－B的平面角为锐角，故二面角M－AC－B的大小为． (3)取平面PCM的法向量为， 则点A到平面PCM的距离． 因，