Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0． （Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0 ， h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若 ＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

∵ ，

∴

∵a＞2，∴ ，

令f′（x）＞0，即 ，

∵x＞0，∴0＜x＜1或 ，

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），

（Ⅱ）解法一：当a=4时，

所以在点P处的切线方程为

若函数 存在“类对称点”P（x0，f（x0）），

则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），

当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．

①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，

等价于 恒成立，

即当0＜x＜x0时， 恒成立，

令 ，则φ（x0）=0，

要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．

又∵ ，

∴ ，即 ．

②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时， ．…（10分）

∴ ．…（11分）

所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为 ．

（Ⅱ）解法二：

猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为 ．下面加以证明：

当 时，

①当 时，f（x）＜g（x）恒成立，

等价于 恒成立，

令

∵ ，∴函数φ（x）在 上单调递增，

从而当 时， 恒成立，

即当 时，f（x）＜g（x）恒成立．

②同理当 时，f（x）＞g（x）恒成立．

综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为 ．

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合a的范围求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）法一：a=4时，求出f（x）的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），结合函数的单调性求出即可；

法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为 ，然后加以证明即可．