Question

已知

OA

=

a

，

OB

=

b

，

a

•

b

=|

a

-

b

|=2，
（1）当△AOB的面积最大时，求

a

与

b

的夹角θ；
（2）在（1）的条件下，判断△AOB的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由面积公式得，S_△AOB=

1

2

|

a|

•|

b

|sinθ变形得S_△AOB=

1

2

(| a| •| b |) 2-4

，又由

a

•

b

=|

a

-

b

|=2，可解得

a

2+

b

2=8，由基本不等式求出|

a|

•|

b

|的最大值即可求出△AOB的面积最大值．及取到最大值时的夹角；
（2）在（1）的条件下，利用等号成立的条件求出角θ值，又两邻边相等，可得三角形的形状．

解答：解：（1）由面积公式得，S_△AOB=

1

2

|

a|

•|

b

|sinθ变形得S_△AOB=

1

2

(| a| •| b |) 2-4

，
又由

a

•

b

=|

a

-

b

|=2，平方整理可解得

a

2+

b

2=8，
 由基本不等式

a

2+

b

2=8≥2|

a|

•|

b

|，即|

a|

•|

b

|≤4等号当|

a|

=|

b

|时成立
 故S_△AOB=

1

2

(| a| •| b |) 2-4

≤

1

2

42-4

=

3

此时有S_△AOB=

1

2

|

a|

•|

b

|sinθ=

3

得sinθ=

3

2

即

a

与

b

的夹角θ=60⁰
（2）在（1）的条件下，|

a|

=|

b

|，

a

与

b

的夹角θ=60⁰
  可知此三角形是等边三角形．

点评：本题考查向量的运算与三角形的面积公式，及知三角函数值求角．是一道典型的三角与向量结合的好题．