Question

已知曲线C是到点P(-

1

2

，

3

8

)和到直线y=-

5

8

距离相等的点的轨迹，l是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，使得

|QB|2

|QA|

为常数．

Answer 1

分析：（I）设N（x，y）为C上的点，进而可表示出|NP|，根据N到直线y=-

5

8

的距离和|NP|进而可得曲线C的方程．
（II）先设M(x，

x2+x

2

)，直线l：y=kx+k，进而可得B点坐标，再分别表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根据|QA|²=|QM|²-|AM|²求得k．

解答：解：（I）设N（x，y）为C上的点，则|NP|=

(x+ 1 2 )2+(y- 3 8 )2

，
N到直线y=-

5

8

的距离为|y+

5

8

|．
由题设得

(x+ 1 2 )2+(y- 3 8 )2

=|y+

5

8

|，
化简，得曲线C的方程为y=

1

2

(x2+x)．

（II）设M(x，

x2+x

2

)，直线l：y=kx+k，则B（x，kx+k），从而|QB|=

1+k2

|x+1|．
在Rt△QMA中，因为|QM | 2= (x+1)2+(

x2+x

2

) 2=(x+1)2(1+

x2

4

)，|MA| 2=

(x+1)2(k- x 2 )2

1+k2

．
所以|QA|2=|QM|2-|AM|2=

(x+1)2

4(1+k2)

(kx+2)2，
∴|QA|=

|x+1|•|kx+2|

2 1+k2

，

|QB|2

|QA|

=

2(1+k2) 1+k2

|k|

•|

x+1

x+ 2 k

|．
当k=2时，

|QB|2

|QA|

=5

5

，
从而所求直线l方程为2x-y+2=0．

点评：本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．