Question

设向量

a

=（1，cos2θ），

b

=（2，1），

c

=（4sinθ，1），

d

=（

1

2

sinθ，1）．
（1）若θ∈（0，

π

4

），求

a

•

b

-

c

•

d

的取值范围；
（2）若θ∈[0，π），函数f（x）=|x-1|，比较f（

a

•

b

）与f（

c

•

d

）的大小．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积的坐标表示可求，

a

•

b

-

c

•

d

=2cos2θ，结合θ∈（0，

π

4

）及余弦函数的性质可求
（2）由题意可求f（

a

•

b

）=1+cos2θ，f（

c

•

d

）=f（1+2sin²θ）=1-cos2θ，结合θ∈[0，π），讨论cos2θ的正负即可判断

解答：解：∵

a

=（1，cos2θ），

b

=（2，1），

c

=（4sinθ，1），

d

=（

1

2

sinθ，1）
（1）

a

•

b

-

c

•

d

=2+cos2θ-2sin²θ-1=2cos2θ
∵θ∈（0，

π

4

）
∴2θ∈(0，

1

2

π)
∴0＜cos2θ＜1
∴0＜2cos2θ＜2
即0＜

a

•

b

-

c

•

d

＜2
（2）∵f（x）=|x-1|
∴f（

a

•

b

）=f（2+cos2θ）=|1+cos2θ|=1+cos2θ
f（

c

•

d

）=f（1+2sin²θ）=f（2-cos2θ）=|1-cos2θ|=1-cos2θ
∵θ∈[0，π）
当θ∈(0，

π

4

)∪(

3π

4

，π)时，1-cos2θ＜1+cos2θ，即f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）
当θ∈(

π

4

，

3π

4

)时，1-cos2θ＞1+cos2θ，即f（

a

•

b

）＜f（

c

•

d

）
当θ=

π

4

或

3π

4

时，1-cos2θ=1+cos2θ，即f（

a

•

b

）=f（

c

•

d

）

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用及余弦函数的性质的在应用，体现了分类讨论思想的应用．