Question

已知函数f（x）=log₂x
（Ⅰ）若f（x）的反函数是函数y=g（x），解方程g（2x）=2g（x）+10；
（Ⅱ）对于任意a、b、c∈[M，+∞），M＞1且a≥b≥c．当a，b，c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试分别探究下面两个问题：
（1）当1＜M＜2时，是否存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，以f（a）、f（b）、f（c）不能作为三角形的三边长．
（2）M≥2，证明：对于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）总能作为三角形的三边长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的反函数y=g（x），直接求解方程g（2x）=2g（x）+10，即可；
（Ⅱ）设存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，以f（a）、f（b）、f（c）能作为三角形的三边长．求出M的最小值，即可说明（1）成立，同时说明（2）M≥2，对于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）总能作为三角形的三边长．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的反函数y=g（x）=2^x，由g（2x）=2g（x）+10
可得：2^2x=2×2^x+10，解得2^x=1±

11

，
∴x=log₂（1+

11

）
（Ⅱ）由题意知，c+b＞a
∵f（a），f（b），f（c）能作为某个三角形的三边长，
∴log₂c+log₂b＞log₂a，
∴bc＞a（2分）
∵bc≥b+c，
∴（b-1）（c-1）≥1
当b≥2，c≥2时，有（b-1）（c-1）≥1成立，则一定有bc＞a成立．
∵log₂c＞0，
∴c＞1，即0＜M≤1不合题意．
又当1＜M＜2时，取b=M，c=M，a=M²，有M+M＞M²，即b+c＞a，
此时a，b，c可作为一个三角形的三边长，但log₂M+log₂M=2log₂M=log₂M²，
即f（b）+f（c）=f（a），所以f（a）、f（b）、f（c）不能作为三角形的三边长．
综上所述，M的最小值为2．
所以（1）当1＜M＜2时，不存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，以f（a）、f（b）、f（c）不能作为三角形的三边长．
（2）M≥2，时对于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）总能作为三角形的三边长．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，函数的基本性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．