Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（其中为坐标原点），求整数的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最大整数值为1.

解析试题分析：（Ⅰ）由题知， 所以．即．
又因为，所以，．
故椭圆的方程为．                    5分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.
设：，，，，
由得.
，.
，                    8分
∵，∴，，
.
∵点在椭圆上，∴，
∴                          12分
，
∴的最大整数值为1.                           14分
考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，存在性问题研究。
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。对于存在性问题，往往先假设存在，利用已知条件加以探究，以明确计算的合理性。本题（III）通过假设t，利用韦达定理进一步确定t与k的关系式，通过确定函数的值域，得到t的范围。