Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的图像与轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数，，都有.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见证明

【解析】

（1）先对函数求导，分别讨论和，即可得出结果；

（2）结合（1）的结果，得到时，在上单调递增，不满足条件；当时，得到的极大值，再由函数的图像与轴相切，求出，将原问题转为证明即可，再构造函数，用导数的方法判断其单调性，结合条件，即可得出结论成立.

（1）函数的定义域为 ，.

当时， ，在上单调递增；

当时，由，得 .

若 ，，单调递增；

若 ，，单调递减

综合上述：当时，在上单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减.

（2）由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，不满足条件；

当时，的极大值为，

由已知得 ，故 ，此时.

不妨设，则

等价于 ，即证：

令 ， 则

故在单调递减，所以.

所以对于任意互不相等的正实数，都有 成立.