Question

如下图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F、E₁、F₁分别为棱AD、AB、B₁C₁、C₁D₁的中点．

求证：∠EA₁F＝∠E₁CF₁.

Answer 1

[证明]　如下图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，取A₁B₁的中点M，则BF＝A₁M＝AB.

又∵BF∥A₁M，

∴四边形A₁FBM为平行四边形．

∴A₁F∥BM.

而F₁、M分别为C₁D₁、A₁B₁的中点，

则F₁M綊C₁B₁，

而C₁B₁綊BC，∴F₁M∥BC，且F₁M＝BC.

∴四边形F₁MBC为平行四边形，

∴BM∥F₁C.又BM∥A₁F，∴A₁F∥CF₁.

同理取A₁D₁的中点N，连接DN，E₁N，

则A₁N綊DE，

∴四边形A₁NDE为平行四边形．

∴A₁E∥DN.

又E₁N∥CD，且E₁N＝CD，

∴四边形E₁NDC为平行四边形．

∴DN∥CE₁.∴A₁E∥CE₁.

∴∠EA₁F与∠E₁CF₁的两边分别对应平行，

且方向都相反．

∴∠EA₁F＝∠E₁CF₁.