Question

（09年山东质检）（14分）

已知函数

   （I）求曲线处的切线方程；

   （Ⅱ）求证函数在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e^0.3≈1.3）

   （III）当试求实数的取值范围。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ），………………………………1分

又，

处的切线方程为

………………………3分

（Ⅱ），

…………………………………………4分

令，

则上单调递增，

上存在唯一零点，上存在唯一的极值点………6分

取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下

区间中点坐标	中点对应导数值	取区间
			1
			0.6
			0.3

由上表可知区间的长度为0.3，所以该区间的中点，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x的值。

取得极值时，相应………………………9分

（Ⅲ）由，

即，

，………………………………………11分

令

令

上单调递增，

，

因此上单调递增，

则，

的取值范围是………………………………………14分