Question

 

设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：

   （1）任意，有，当时，且；

   （2）；

   （3），

试求：（1）证明：任意， ，都有；

        （2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由． （阶乘定义：）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：

   （1）任意，有，当时，且；

   （2）；

   （3），

试求：（1）证明：任意， ，都有；

（2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由．

解：（1）当时，， ，

若，则得，不可能，舍去 

当时，，得，

若，则，，，，

同理，若，任意，

，都有

   （2）

由（1）可得为单调减函数

得

…

相乘得： …① 

又由①式得：

…

，

相加得：，

，，，，，，，，

由于当时，能被25整除

综上，存在正整数，当或时，是25的倍数