Question

（09年海淀区二模理）（14分）

如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面上的射影恰好是的中点，且．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

解析：（Ⅰ）证明：设的中点为.

在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面，

    平面平面.        …………………………5分

解法一：（Ⅱ）连接，平面，

是直线在平面上的射影.      …………………………5分

，

平行四边形是菱形.

.                   ………………………………………7分

.                    ……………………………………9分

（Ⅲ）过点作交于点，连接.

，

平面.

.

是二面角的平面角.              …………………11分

设，则，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.     ……………………………………13分

.

∴二面角的大小为.       …………………………14分

解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则垂直平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，由题意可知，.

设，由，得……………………………7分

.

  又.

.

.                         ………………………………………9分

（Ⅲ）设平面的法向量为.

则

∴

.

设平面的法向量为.则

∴

.             ……………………………………12分

.          …………………………………13分

二面角的大小为.           ………………………………………14分