Question

【题目】如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m的圆形广场（圆心为O）与此公路一边所在直线l相切于点A．点P为北半圆弧（弧APB）上的一点，过P作直线l的垂线，垂足为Q．计划在△PAQ内（图中阴影部分）进行绿化．设△PAQ的面积为S（单位：m2）．
（1）设∠BOP=α（rad），将S表示为α的函数；
（2）确定点P的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：AQ=100sinα，PQ=100+100cosα，α∈（0，π），

则△PAQ的面积

=5000（sinα+sinαcosα），（0＜α＜π）

（2）解：S/=5000（cosα+cos2α﹣sin2α）

=5000（2cos2α+cosα﹣1）

=5000（2cosα﹣1）（cosα+1），

令 ，cosα=﹣1（舍去），此时 ．

当 关于α为增函数；

当 关于α为减函数．

∴当 时， （m2），此时PQ=150m．

答：当点P距公路边界l为150m时，绿化面积最大，

【解析】（1）若∠BOP=α，则P点坐标（x，y）中，x=AQ=100sinα，y=PQ=100+100cosα，α∈（0，π），根据三角形面积公式，我们易将S表示为α的函数．（2）由（1）中结论，我们可利用导数法，判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，即最大绿化面积．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．