Question

已知函数f(x)＝在x＝0，x＝处存在极值。
（Ⅰ）求实数a,b的值；
（Ⅱ）函数y＝f(x)的图象上存在两点A,B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；
(Ⅲ）当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的实根个数。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）实数c的取值范围是(0,＋∞) ；(Ⅲ）当k＞或k＜0时，方程f(x)＝kx有一个实根；当k＝或k＝0时，方程f(x)＝kx有两个实根；当0＜k＜时，方程f(x)＝kx有三个实根。

解析试题分析：（Ⅰ）由于两个极值点都小于零，故对在求导，，即当时，，依题意，由可求实数的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，依题意A，B的横坐标互为相反数，不妨设，分与讨论，利用是直角，，即可求得实数的取值范围；(Ⅲ）由方程，知，可知一定是方程的根，，方程等价于，构造函数，分且与两类讨论，即可确定的实根的个数．
试题解析：（Ⅰ）当x＜1时，.
因为函数f(x)在x＝0,x＝处存在极值，所以
解得a＝1,b＝0.                                              (3分)
（Ⅱ）由（1）得
根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设A(－t,t³＋t²), B(t,f(t)(t＞0).   (4分)
若t＜1，则f(t)＝－t³＋t²,
由∠AOB是直角得·＝0，即－t²＋(t³＋t²)(－t³＋t²)＝0，
即t⁴－t²＋1＝0.此时无解；                                    (5分)
若t≥1，则f(t)＝c(e^t―1―1).由于AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角，
所以B点不可能在x轴上，即t≠1.
同理·＝0， 即－t²＋( t³＋t²)·c(e^t―1―1)＝0，
整理后得 .                                (7分)
因为函数y＝(t＋1)(e^t-1―1)在t＞1上的值域是(0, ＋∞),
所以实数c的取值范围是(0, ＋∞).                         (8分)
（3）由方程f(x)＝kx,
知
因为0一定是方程的根，                                 (9分)
所以仅就x≠0时进行研究：
方程等价于
构造函数                       (10分)
对于x＜1且x≠0部分，函数g(x)＝－x²＋x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x＝时取得最大值，其值域是(－∞, 0)∪(0, ]；        (11分)
对于x≥1部分，函数，由，
知函数g(x)在(1, ＋∞)上单调递增,则g(x)［0，+)         (13分)
所以, ①当k＞或k＜0时，方程f(x)＝kx有一个实根；
②当k＝或k＝0时，方程f(x)＝kx有两个实根；
③当0＜k＜时，方程f(x)＝kx有三个实根。            (14分)
考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．