Question

已知直线L与抛物线C：x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B（2，0）
（1）求点A的横坐标．
（2）设动点M满足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，点M的轨迹K．若过点B的直线L₁（斜率不等于0）与轨迹K交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由x²=4y得y=

1

4

x²，用导数法求得直线l的斜率，再求得其方程，令y=0得点A坐标；
（2）设M（x，y由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0=0得得

x2

2

+y²=1．知轨迹K是椭圆，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，

BE

=λ•

BF

，x2＜x1，0＜λ＜1
由两个三角形同底，则

BE

=λ•

BF

，即为两个三角形面积之比，只要求得λ即可．

解答：解：（1）由x²=4y得y=

1

4

x²，y′=

1

2

x．
∴直线l的斜率为y′|x=2=1．
故l的方程为y=x-1，
∴点A坐标为（1，0）．（4分）

（2）设M（x，y），则

AB

=（1，0），

BM

=（x-2，y），

AM

=（x-1，y），
由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0=0得（x-2）+y•0+

2

•

(x-1)2+y2

=0，
整理，得

x2

2

+y²=1．轨迹K是椭圆．（9分）
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，

BE

=λ•

BF

，x2＜x1，0＜λ＜1
从而得

x1-2=λ(x2-2) y1=λy2

?

x1=λx2+(2-2λ) y1=λy2

因为E、F都在椭圆上，所以满足椭圆方程：

(λx2+(2-2λ)2+2•(λy2)2=2

&x22+2•y22=2
消去y₂，并整理得

1

2λ

=

3

2

-x2①（11分）
由题意，设过点B的直线方程：x=ty+2，
当直线与椭圆相切时，

x=ty+2 x2+2y2=2

?(t2+2)y2+4ty+2=0?△y=0
即（4t）²-4•（t²+2）•2=0?t²=2，取t=-

2

，?y=

2

2

?x=1得切点（1，

2

2

）
所以知x2∈(-

2

，1)?

3

2

-x2∈(

1

2

，

3

2

+

2

)
联系①式知，

1

2λ

∈(

1

2

，

3+2 2

2

)?λ∈(3-2

2

，1)
即△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3-2

2

，1)．（15分）

点评：本题主要考查导数法求曲线的切线，和用向量法研究直线与曲线的位置关系．